Саболч Хусти начал заниматься футболом в городе Тапольца. В 14 лет переехал в столицу, начав выступать в юношеской команде легендарного "Ференцвароша". С 2001 года он стал игроком взрослой команды, однако дебютировал в высшей лиге лишь 28 сентября 2003 года, выйдя на 68-й минуте матча на замену.

Места в составе ему завоевать не удалось – тот матч так и остался единственным для него в первом круге чемпионата-2003, и зимой он был отдан в аренду в "Сопрон". Хусти блестяще провел остаток чемпионата, забив 6 голов в 14 матчах и внеся немалый вклад в итоговое 5-е место клуба – лучшее в его истории.

Вернувшись из аренды, Хусти продолжил забивать: в дебютном матче от него пострадал "Дьор". Было уже ясно, что Саболч не надолго задержится в венгерском чемпионате – его контракт истекал в конце сезона, и он становился свободным агентом, покупатель должен был лишь заплатить за окончание учебы (впрочем, до 2007 года это так и не было сделано). Поначалу фаворитом в борьбе за талантливого полузащитника выглядел шотландский "Рейнджерс", однако в конце концов Хусти перешел в "Метц".

"Метц" вылетел, и Хусти всего 300 тысяч евро перешел в "Ганновер". В первом же сезоне он стал игроком основного состава и забил 5 мячей в 34 матчах. Всего за два с половиной года в Германии Саболч забил 18 мячей. Одним из самых впечатляющих достижений стал победный гол со штрафного в ворота "Баварии", которую ганноверцы к тому моменту не обыгрывали дома на протяжении 20 лет.

Ходили слухи, что летом 2007 года полузащитником интересовался мадридский "Реал", однако переход в Испанию не состоялся.

1 февраля 2009 года Хусти подписал контракт с санкт-петербургским "Зенитом". Венгр отличился в первой же официальной игре за питесркий клуб, забив в самом начале матча гол в ворота "Штутгарта".

В сборной Венгрии Саболч дебютировал 25 апреля 2004 года (тренером национальной команды тогда был Лотар Маттеус), забив японцам победный гол с пенальти на 92-й минуте. В 2007 году перед очередными матчами отборочного цикла Хусти самовольно покинул лагерь сборной, не желая начинать матчи на скамейке запасных. В результате этого демарша полузащитник был отстранен от сборной до конца года. Возвращение в национальную команду состоялось в матче против Словакии в феврале 2008-го.